体育祭【四街道の学習塾】

こんにちは。四街道市の栗山にある学習塾、秀英ゼミナールです。
小学生、中学生、高校生対象の一斉指導・個別指導を行っています。
中学生は当塾近隣の四街道北中、千代田中のほか、旭中、四街道西中、四街道中の生徒さんが、小学生は近隣の中央小、栗山小のほか、大日小、旭小、みそら小の生徒さんが多くいます。近隣の学校以外は送迎バスを利用される生徒さんも多いです。
在籍生は四街道市が中心ですが、千葉市稲毛区、佐倉市の染井野から通塾する生徒さんもいます。

日曜日に各校で運動会、体育祭があったということで、体育祭の話を聞いてみました。

聞いてみた生徒は、体育祭前に「体育祭の存在意義がわからない」なんてことを言っていた子。
なんと、徒競走で1位になったときから楽しくなってきて、その子の組は総合優勝と応援優勝、両方ともしたんだとか。
その子にとっては中学校最後の体育祭でした。楽しめたようで何よりでした。

さて、そろそろ第1回の定期テストが終わろうとしています。
残すは明日の四街道西中(2日目)と、来週の旭中のみとなりました。

先日、文字を使った整数の性質の説明、という話に触れました。
以下のような問題もあります。

半径rの円形の土地(上図の白色の円)の外側に、幅aの道(グレーの部分)を作ります。
道の真ん中を通る線(点線)の長さをℓとするとき、S=aℓとなることを証明しなさい。

という問題です。

解法としては、
ℓを、rとaを使って表す…①
Sを、rとaを使って表す…②
①を②に代入する
という流れになります。

実際に解いてみます。
点線の半径は　(r+a/2)　なので、
ℓ=2π×(r+a/2)
 =2πr+πa　…①

道の面積は、大きな円の面積から小さな円の面積を引けばいいですね。
大きな円の半径は　(r+a)　、小さな円の半径は　r　です。
よって、
S=π×(r+a)²－πr²
 =π×(r²+2ar+a²)－πr²
 =πr²+2πar+πa²-πr²
 =2πar+πa²　　《ここで、S=aℓの形にしたいので、aでくくります》
 =a(2πr+πa)　…②

①を②に代入すると、
S=a×(2πr+πa)
 =a×ℓ
よってS=aℓとなる。

テキストによっては少し省略して、
①②より、S=aℓとなる
と書いてあるものもあります。書き方は色々です。